最新一本道 数学开窍第四步，是难题的开窍

在此前的著述中最新一本道，咱们谈到了数学开窍的前三步：

第一步：轨则的开窍第二步：常识的开窍第三步：错题的开窍

接下来，是「难题的开窍」。

对于对待难题的立场和水平，不错分为4个头绪：

全面苦守：看见难题就怯生生退避，等谜底浅尝辄止：会尝试一下，不行就灭亡了看谜底善于钻研：对难题感兴味，会去探索和钻研，有多样教会心得，善于解难题系统瞻念察：对难题的骨子有潜入领悟，有系统化的顶住去辩论解决难题

所谓的难题开窍，从举座上要达到3的水平，最佳是4。

要对难题变成系统瞻念察，中枢在于露出难题的复杂性，针对特定的复杂性辩论索要灵验的简化政策。

难题的不开窍：残酷辩论，关注谜底

有一年春节亲戚约聚，我外甥那时上小学二年齿，背着书包来到了餐厅，拿出了功课本。一问等于在学奥数，他妈（我另一个表妹）给他报了奥数班，还有功课没完成。

有说念题他不会，于是我表妹给他讲了一遍。讲的内容是应该如何解（第一步干嘛第二步干嘛）。

然后外甥如故一脸懵逼。

他妈的口吻驱动不耐心、更不耐心，脸拉长，要爆了......

重复讲了两遍之后，她问：「你懂了莫得」。

小一又友摇摇头，看见妈的脸色更凶了，又点点头。

她终于爆了，驱动找老公：「你过来，来教一下你儿，气死我了，这样浮浅讲了几遍他王人不会」。

我看了一下题目，简略是这样的：

小明家的鱼塘里养了草鱼、鲤鱼、鲢鱼和黑鱼，已知草鱼和鲤鱼一样多，黑鱼比草鱼少2条，鲢鱼比黑鱼多1条，鲤鱼有5条，问鱼塘里一共有几许条鱼？

我一看就认为这题目根底不该在二年齿引入。太复杂条款因素太多，二年齿小一又友难以露出。

要我就根底不会让小一又友作念这说念题甚而上这个所谓的奥数班。

话分两端，亲妈败阵后亲爹上场。他很和气的又把解题经由讲了一遍。

咱们先算草鱼，草鱼=5。

再把黑鱼求出来，5-2=3。

再求鲢鱼，3+1=4。

临了把它们加起来：5 + 5 + 3 + 4= 17。

很浮浅啥

懂了吗？

小一又友连接作念懵逼状。

她妈在独揽高声说：「我等于这样跟他讲的。要这样讲还需要你吗？平时学习你也不管，你聪惠你上啥。」

很难过。

这时候小一又友外公听到了，拍马过来上场缓慢地方了。说：「我来望望」。

他又给小一又友讲了一遍。

临了开饭了这题如故没处置。

我靠我要不行了，笑死了。

你提示娃是在「盲目刷题」，如故在「辩论想考」

全部题，从犬子、爸爸、姆妈到外公，一家四口上阵，为啥如故没能处置呢？

爸爸、姆妈和外公三东说念主上场，他们的动作王人是一样的：讲一遍解题经由。

介怀套路。

对于他们而言，「提示娃学会这说念题」，亦然一个解说的题目了。

他们亦然在反复刷，一遍不行再刷一遍。

如果从「辩论想考」的角度，问题就来了：

他们我方莫得辩论想考，到底对小一又友卡点在那儿，为什么不成露出他们莫得启发娃的辩论想考

前边的这说念鱼塘的题目，对于二年齿小一又友而言，条款多关系复杂，讲话详细，小一又友很难搞赫然题目说的什么，难以了解多样鱼的关系。

要击破这个复杂性，灵验的技能等于数形聚会，画出暗意图来终了对题主义露出。丹青出来了露出了，解决决议很浮浅，无非等于一个一个求出来临了加起来，小一又友我方就颖悟。

但家长等于告成教解题法子，深入到诡计数字（没什么技巧含量不组成难点）。却对信得过的复杂性「难以露出题意」充耳不闻。费了一包子力气后果等于零（甚而可能为负，筹商到心理影响）。

小一又友姆妈的立场也很有预想。

她讲了几遍犬子不懂，她不是去辩论搞赫然问题的复杂性，明确卡点，灵验简化妥协决，而是：

固守不雅念（这题很浮浅）重复无效动作（再讲两遍）驱动产生负面心绪（不耐心、不悦爆炸）以及推给老公（侧目问题）

这种示范作用尽头倒霉。

遭受难点就辩论分析啊，「从复杂中就浮浅，从零星中求规律」呗。

最需要解说的是家长啊。

你说她关注娃的解说了吗？关注了呀。

费钱让娃上奥数班，还提示讲题。

但她的资产和时分过问产生了几许后果吗？

提示这说念题，没恰中要害，没终了小一又友的开窍，还搞得我方火冒三丈。

然则其中枢等于介怀解法。

莫得任何「辩论提示」，也就很难拉动孩子的技艺发展。

为什么学了奥数也没几许用

几年畴昔了，暑假我回故我，又见到我外甥。

他也曾读小学五年齿了，周末还要上奥数班。这个奥数班应该不是以前阿谁了吧。

从二年齿到五年齿，也不知说念他妈给他报了几许班。问起来他妈等于一脸摇头状，说花了钱也没啥后果啊。

去饭铺的车上，我问他奥数班王人在教什么呀，他说教了鸡兔同笼。

我问那么到原来分如何教的呢。

本分教了他们，这种题目要用假定法。先假定王人是鸡或者兔子，看有几许腿。然后再比拟相反。

那么为什么要用假定法呢？

小一又友说：「这个本分就没教了」。

作为一个从小意思意思学习但反感应考解说的东说念主，我东说念主生最可爱吐槽的等于愚蠢的解说体系。

学生菜菜一个，本分菜菜一班。

应考学习有两板斧：

解题：依赖于反复刷题学常识：依赖于死记硬背

大多数本分教悔生等于这两板斧。

举例这个奥数班，本分教了巨匠「假定法」这个常识点，要巨匠记着不错用它来解决鸡兔同笼类问题，常识介怀到位。

接下来嘛，那等于给题目让同学们刷了，变成条款反射。这样异日「看到鸡兔同笼类问题」就知说念用「假定法」。

以前网上有过尽头强烈的争论，说小学生要不要学奥数。

表面上，如果有善于疏导的本分，奥数不错匡助终了「数学开窍」。

但梦想丰润，现实骨感，大多数本分能把任因何想考为主义的科目搞成刷题应考。

要善于解难题，能够从难题中西宾想维，那一样的需要聚焦于「灵验辩论想考」。

对难题的灵验辩论想考：明确复杂性辩论简化政策

那么，对于难题如何灵验辩论想考呢？

在数学领域，之是以它对你成为「难题」，无为而言，意味着复杂性高。咱们的头脑难以处理。

是以要破解难题，也就需要当先辩论到底它复杂在那儿，然后针对性的辩论简化政策。

举例鸡兔同笼的问题。

我问外甥说：「你认为为什么呢（用假定法）」

他想了想说不知说念，问我为什么。

咱们看到题目：

鸡兔同笼，共38个头，112只脚，那么鸡有几许只？兔有几许只？

用「明确复杂性和简化政策」的想路：

这题目咱们没见过没作念过，如何想考呢？

好像作念不出来呀，太复杂了。

咱们能不成【简化】呢？从题目中【简化】出咱们能作念的，然后望望如何靠拢到最终的问题？

那么，这说念题的【复杂性】在那儿呢？

因为又有鸡又有兔子，很难诡计，无从下手。

淌若【简化】的话，就应该是唯唯一种动物，这样浮浅许多。

av收藏家

那么咱们假定笼子里唯独鸡，一共38个头的话，就应该有38只鸡。

每只鸡两只脚，那等于76只脚。

然则题目里一共是112只脚。差了36只。

这个相反如何来的呢？有些兔子被咱们假定成鸡了。

那么到底有几许兔子呢？

这个比拟【复杂】，难以想赫然，咱们就【一步一步】来嘛。

现在咱们假定扫数王人是鸡，莫得兔子。

那么咱们走出一小步，如果有一只兔子呢？

这时候应该是37 x 2 + 1 x 4 = 78只脚。

或者，因为少了一个兔子多了一只鸡，而兔子比鸡要多了两只脚，是以应该是76 + 2 = 78只。

如果有两只兔子呢？那就应该是 78 + 2 = 80只。

这样咱们也就能找到律例了。

每用一个兔子换掉一只鸡，就会多出两个脚。

而现在咱们相反是36只脚，36 / 2 = 18。

应该有18只兔子，而鸡是 38 - 18 = 20只。

验算一下： 2 x 20 + 4 x 18 = 40 + 72 = 112只。

正确。

科学家丁文江说：

科学是解说和素养最佳的器具，学科学的东说念主有求真谛的才气，而且有爱真谛的诚意。无论碰见甚么事，王人能平心定气去分析辩论，从复杂中求浮浅，从零星中求规律；了然于世界生物心理各种的关系，才能够真知说念生活的乐趣。

在濒临难题时，咱们要「从复杂中求浮浅，从零星中求规律」。

当把复杂变浮浅、从零星中建造规律的时候，就会产生开窍和赢得感。

这样才能真知说念解题的乐趣。

而家长本分一味给孩子介怀谜底，其实也就劫掠了他们我方探索的赢得感和乐趣。

在简化难题经由中掌抓顺序变成常识

在前边的鸡兔同笼解题案例中，通过「明确复杂性，寻找简化政策」，即使咱们莫得见过鸡兔同笼，莫得学过「假定法」，最终也能够推导出论断。

同期，在这个推导的经由中，其实咱们我方就当然的用了假定，在过后不错回来索要出常识点「假定法」。

这样，通过我方辩论想考，咱们不单是掌抓了解题顺序，而且还推导出了「假定法」常识点。

这种通过我方的辩论得来的顺序和常识，真恰是属于我方的。

当你连续的辩论解决难题，找到复杂性和简化政策的时候，会发现，数学题目中，常见的复杂性和简化政策，有期本人的律例性。

举例有些数学想维课，会给巨匠讲常见数学想维和顺序，他们会归纳为诸如：有序想维、对称想维.....假定法、换元法.....

其实如果你对破解难题感兴味，一直在辩论和简化，最终也会回来索要出来这些内容。

举例有序也好、寻求对称性也好、换元也好，王人是简化的政策。

但归根结底，破解难题最紧迫的，等于「辩论复杂性和简化政策」。

难题辩论与技艺发展

在「轨则的开窍」部分，咱们谈到技艺发展3因素：

图片

如果濒临难题，咱们告成苦守，或者浅尝则止，很难有几许收货。

就像我的外甥，参加奥数课程，但更多的是在被介怀谜底，我方的辩论想考量是不够的。

但如果咱们围绕「复杂性和简化政策」张开辩论想考，那么解难题就口舌常好的技艺西宾。

解题经由中的大宗想考推迎接拉升基础技艺，我方辩论推导出来的解题顺序和常识又会强化常识体系。

尤其是对于「复杂性和简化政策」部分，存在普遍性的律例方法。因此，越是辩论难题，对「复杂性和简化政策」有常识蕴蓄，其后的多样难题经常就越莽撞不错鉴戒现存常识教会。

这样解难题越来越强，东说念主也越来越聪惠罪状。

想考题：

1）你在解决难题要津，有几许灵验辩论想考量？2）你解决难题的经由，拉动了基础技艺和常识体系水平吗？3）你对难题的解决，终明晰越学越聪惠吗？

微软公司的技艺题口试：招聘聪惠东说念主中的前1%

在生意史上，有一家公司也曾以「出技艺难题招聘职工」而著称，这等于比尔盖茨带领下的全盛时期的微软。

1986年3月13日，微软上市。股价的显耀高潮，为微软树立了4位亿万财主以及12000位百万财主。

在信息翻新的PC时间，微软不单是成为了信息产业的头号公司，亦然好意思国企业的象征和公众关注的焦点。在微软如日中天的时间，任何干于微软的话题王人容易激励关注。

而那时微软招聘职工，圭臬是「招聘Top 1%的聪惠东说念主」（预想是聪惠东说念主中的前1%），而不那么敬重口试者的教会配景。口试中一个典型的作风，等于使用技艺题，诸如：

无谓天平，如何能够称出喷气式飞机的分量？如果你能够移走好意思国50个州的任何一个，你要移走哪一个？如何联想比尔盖茨的浴室？每小时有几许密西西比河水流过新奥尔良？每天钟表的指针重复几许次？纽约有几许加油站？

微软的技艺题有个很大的特质是它经常是洞开式，莫得固定谜底的。它推行上的查考要点在于一个东说念主在濒临未知艰苦和挑战时的响应，谜底反而没那么紧迫。

这种响应分为三个头绪：心绪响应，技艺响应和交流响应。

从心绪响应的角度上来说，一部分东说念主一拿到技艺题这类之前从未斗争过的题目，第一响应是齐全懵住，进而在通盘口试经由中王人是大脑一派空缺的状态；另一部分东说念主则会进行自我调节，尝试去解决问题；而还有一部分东说念主，响应则更为安然速即，甚而还会为遭受这种全新的问题而阐扬出抖擞、好奇和磨拳擦掌。

在技艺响应的层面，技艺题主要测试一个东说念主是否具有通过建造逻辑框架、探索解决想路来处理问题的才气。

举例，估算纽约有几许加油站这个问题上，高技艺水平的东说念主会可能会连续想考、找到多个想路：先将纽约分为若干个区，再找出约莫隔几许距离/多大面积会有一个加油站，从而估算通盘纽约市的加油站数目；或者先看望纽约市的汽车数目并诡计耗油量，再看望一个加油站的储油量，通过城市所需的加油站数目来估算推行数目。

如果一个东说念主能够给出多种解决想路，那么这不仅能体现出他有丰富的常识体系和想维模子，同期还能体现出他能够把许多信息生动行使，何况建造关联。

在技艺题的作答经由中，裁撤很少一部分应聘者会主动互动或筹商，大部分东说念主遭受卡壳或诡计瓶颈时不会主动跟口试官交流。但推行上，互动有助于口试官更了解应聘者的想考景象，也不错为应聘者争取多小数的展示契机——这小数便属于关系响应的领域。

从这小数看，技艺题不仅不错查考技艺，还能趁便查考交流配合才气。学生的学习亦然同理。闷头学习并不会更灵验率，能否更灵验地获取常识要看学生能否协同他东说念主，利用学习资源。

比尔盖茨的想考：微软如何应答未知挑战

为什么微软在招聘上别出机杼，用技艺题这种形势呢？

这和比尔盖茨对微软公司的顶层联想，有密切关系。

比尔·盖茨有一句话：「微软离歇业唯独18个月」。

他的预想是，在竞争激励、变化意外的科技行业，哪怕是顶尖的公司，领有的竞争上风依然是旋即的。

就像在古代，恐龙也曾是地球上占据独揽地位的物种，然则，跟着地球环境变化，不成得当的恐龙，灭尽了。

比尔·盖茨这句话，也曾许多东说念主认为是杞东说念主忧天，或者无病呻吟。

但在今天，哪怕你不在科技行业，对于「快速变化的环境」，应该王人有强烈的感受。

那么，应该如何濒临这种环境呢？

比尔·盖茨认为，要让企业能连续的生计发展，就需要有濒临变化、濒临新的挑战，快速学习和改造的才气。而且这些新的挑战，很可能是未知的，超出原有的预期。

为了有这样的才气，企业需要高水平的职工。这些职工不单是能作念好已知的职责，而且还能够在有未知的新挑战的时候，依然有才气去濒临。

「能濒临妥协决未知挑战的职工」，应该是如何样的呢？

比尔·盖茨列出了一些基本的圭臬：

聪惠艰难善于想考可爱继承技艺上的挑战有对职责和技巧的情愫

那时我辩论微软公司，有个嗅觉，比尔·盖茨招聘的圭臬，不等于按照他我方的类型来的吗？

教会只可解决已知问题，聪惠才智才能解决未知问题

既然要职工能够「解决未知问题」，那么落实到招聘中，就应该能够筛选出这样的东说念主。

因此，微软打造了一套独具特色的招聘体系。

在招聘时，微软的定位是「招聘前1%的聪惠东说念主」。

比尔盖茨看中的聪惠，是「raw smart」，也等于不依赖于教会的大宗强行堆积介怀，而是通用的、底层的不雅察才气、分析才气、判断才气、学习才气的渊博。

这就像学生，不是依靠大宗的刷题强行刷出来的解题才气，而是善于想考能够举一反三。此后者，才是善于解决未知题型的东说念主。而前者，经常只可解决教会之内的问题，对「本分没讲过、我方没看到过的」，经常未战先怯，一看到东说念主就懵了。

比尔·盖茨认为，教会不错培养，然则这种隧说念的聪惠，却很难养成。因此，公司首肯招募聪惠但短缺教会的东说念主，也不招聘短缺应答未知挑战的后劲的东说念主。

春节期间DeepSeek火爆出圈了。

DeepSeek首创东说念主梁文峰，在谈到他的招聘圭臬时，亦然关注「调节和好奇心」，认为丰富教会不紧迫甚而有副作用。

那么，口试中，如何把这批「能解决未知问题的东说念主」筛选出来呢？微软有一个很出名的顺序，等于使用前边谈到的技艺题。

通过这种形势，查考求职者濒临未知问题的响应。

两种学习形势的根底相反

2004年我口试微软之前，作念准备职责。当读到微软口试题的配景故事时，短暂雄厚到正常学生与顶尖学生在解题上的一个根底相反，等于在于「解决已知问题如故解决未知问题」。

在应考学习的三板斧（上课、刷题、考验），其中枢是要熟谙应用。是以本分频繁说「你们要多作念题，要什么题型王人见过、要能熟谙解决」。

这个逻辑是攒教会的逻辑。

是以学生一定要由外部输入教会，加以大宗挂牵和锻练。

通过这种形势西宾的学生，经常一看到目生问题就傻眼了，哎呀没见过啊如何办呢？

哪怕其实没那么目生，换个马甲经常也抓狂。

然则顶尖学生的学习形势，却并不在乎「什么王人要见过、什么王人要熟谙」。

举例我在学校时间，哪怕是莫得见过的题目，也融会过辩论、拆解、分析，去尝试找到想路，简化为更浮浅的、已知的问题和标的，通顺到更基础的想法旨趣，我方去变成常识和教会。

我虽然也需要去作念题、去参考别东说念主的想路，但我更多的是去辩论为什么他们会这样想，这些解题经由和决议如何产生的？尝试去拆解他们的想路之后，我方把问题看成从没见过的去解决。

这个经由经常需要去关系到我方已有的教会和常识，对迁徙才气会有更高的西宾。

我的同学们为了应答考试，会去刷多样各样的题型，记多样二三级论断，破耗大宗时分（要先知说念对每种题型这样作念，刷熟谙才能解决），然则我根底无所谓，临场作念就行了。大多数没见过的也不错作念出来，作念不出来的就好好辩论分析。

从效用上，因为「无需大宗刷题型」，我也曾省了许多时分。

从发展技艺角度，许多题王人是我方辩论想考出来的，对逻辑想维发展和变成新常识王人很有匡助。

如的确的临场有没见过的，也不错简略率的处置。搞不定，恰恰好好辩论想考学习。

咱们看学习才气强的同学，他们有一个特征，等于许多时候不肯意被剧透谜底，首肯我方想考。简直卡住的点才去参考资源。

而大多数同学，他们遭受问题更倾向于告成等谜底，「学习立场好」的可能会拿到谜底跋文熟刷熟。

但在创新驱动的时间，信得过最有价值的，是善于解决未知问题的才气。

攻克难题4步法

在「数学开窍西宾营」中，咱们会对「问题复杂性和简化政策辩论」进行进一步辩论。

你将会学到「攻克难题4步法」，把复杂性进行进一步的理解，用更为按次渐进的形势辩论处理难题。

这样更好的作念到「从复杂中求浮浅，从零星中求规律」，越作念题越聪惠，越聪惠越可爱解题。

解难题口舌常好玩的事情，亦然党羽脑珍惜的考验，你值得领有。

6周数学开窍斟酌

在难题的开窍之后，接下来要作念什么呢？

数学开窍西宾营的举座野心如下：

时段主题愚昧开窍第一周轨则的开窍蛮力游戏技艺游戏第二周常识的开窍死记硬背举座露出第三周错题的开窍改进谜底溯本求源第四周难题的开窍复制谜底灵验简化第五周科技的开窍谜底器具AI启智第六周心态的开窍被迫心态主动心态

通过6个法子，按次渐进的终了举座开窍。

对于这6个开窍具体的分析最新一本道，请阅读6小时数学开窍：6浩劫点6个疗程全面开窍。

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